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中岳老松

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中华诗词学会、文化部中国诗酒文化协会、河南省诗词学会、平顶山市作家协会会员、平顶山“三苏诗社”秘书长。

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【学习笔记】五年级奥数讲座-----第二讲 牛吃草  

2017-04-22 19:27:08|  分类: 小学奥数 |  标签: |举报 |字号 订阅

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五年级奥数讲座(成都华罗庚学科技学校版【整理者加注版】

 

【学习笔记】第二讲   牛吃草

(  为孙儿记录 )

 

牛吃草这道涵盖数量变化的题,是牛顿享誉盛名的名题之一。生长与消耗、减少与增加,聚焦于变量问题,解决单位时间内的变量是关键。它是通过变量之间的差,来寻求解决问题的一道精典题。对启发学生的思维起到了事半功倍的效果。

 

例1  牧场上长满牧草,每天牧草都均匀生长,这片牧草可供10头牛吃20天,供15头牛吃10天,供25头牛吃几天?

分析:如果牛吃草的速度大于草生长的速度,不可能让牛2天不吃草而等着草长出来再吃。那么,如果把一头牛一天吃的草量,作为一个单位,可列出下有分析图:

                                             原有的草

①  10头牛吃20天的草

                                             20天长的草

                                            原有的草

②  15头牛吃10天的草

                                             10天长的草

从上图对比分析,牧场原有的草没有变化,变化的是对应20天和10天的草,也就是对应时间差和总量差,从而计算出原有的草和新长出来的草。

 

解:设一头牛一天吃的草量为1个单位

每天长的草:(10 × 20 — 15 × 10 )÷ ( 20 — 10 )= 5 (单位 每天新长的草量)

用文字表述:10头牛吃20的草量,减去15头牛10天吃的草量,除以天的差数,得出每天新长出的草量。

 

原有的草:10 × 20 — 5 × 20 =100  (单位,用时间差减去长出的草,求出原有的草量)

用文字表述:10头牛20天吃的原有草量和新长出来的草量,减去20天新长出来的草量,就等于牧场原有的草量。

 

供25头牛可吃多少天:100 ÷ ( 25 —5 )=  5  (天)

 

答:25头牛可吃5天。

 

例2  22头牛吃33公亩牧场的草,54天可吃尽;17头牛吃同样牧场28公亩的草,84天可吃尽;几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃尽?

分析:3个牧场面积不同,每天草长的量也不同,但草是匀速生长,也就是每公亩的日长量是一样的。通过求出日长量和时间差来分别求得3个牧场的原草量。

解:设1头牛1天吃草量为1个单位

因为1公亩的日长量速度是一样的,第二个牧场的牛比第一个牧场的牛吃草的天数多,所以在计算1公亩的日长量时 计算单位时差应考虑减数和被减数)

1公亩的日长量:

(17×84÷28— 22×54÷33)÷(84—54)= 0.5(单位)

1公亩的原有量:

22×54÷33—0.5×54 = 9 (单位)

40公亩草地,24天吃完供养牛的头数:

9×40 + 0.5×40÷24 = 35  (头)

 1公亩的原有量×40公亩 + 1公亩的日长量×40天÷24天 = 40公亩原有量 + 40公亩的新长量 ÷ 24天 = 35 (头牛)

答:35头牛。

 

例 3 有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头,吃6天后 卖了4头,余下的牛再吃2天则将草吃完。问:原有牛多少头?

 

分析:根据已知条件,同一牧场,因牛的数量不同,将草吃完的天数也不同,说明牧场的草量分有原草量和日长量两个部分,按解这类题的原则,要先求出日长量,再求出原有量。本题另一个特别之处是“卖牛”,在解决这一问题时,可先假设牛没有卖,那“若干头牛”要吃的草肯定不够,所以在解决了日长量的原有量之后,再根据条件来解放“不够吃”的问题,从而解出本题。

 

解:设1头牛1天吃的草量为1个单位

日长量 = (17×30—19×24)÷ (30 — 24)= 9  (单位)

上式:日长量 = 总量之差儿— 时间差 = 原有草和新长草因天数的不同而生长的草量 ÷ 天数的差数 = 每天新长出的草量。

原有量度= 17×30 — 9×30 = 240  (单位)

上式:原有量 = 30天的原有量和新长量之和 — 30天的新长量 = 得出牧场草的原有量。

现在牧场草的原有量和每一天的新长量已经有了,我们假设牛没有被卖,那么2天4头牛要吃多少新生的草呢?结果是:2×4 = 8  (单位)

那么吃完草的天数:6 + 2 = 8  (天)

原有牛:

(240 + 9×8 +8 )÷8 = 40  (头)

原有草量 + 日长量×8天 + 2天新长的量 ÷8天 = 40 头

答:原有牛是40头。

经验是先求日长量,再求原有量。遇特殊性问题,再依新条件解决。

 

练习题:

1、牧场上一片牧草,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃4周。如果牧草每周匀速生,问可供21头牛吃几周?

2、一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者可供80只羊吃12天。如果1头牛吃的草量等于4只羊吃的草量,那么,10头牛与60只羊一起吃可吃多少天?

3、一片草地如果9头牛吃,12天吃完所有的草。如果8头牛吃,16天吃完所有的草。现在开始只有4头牛吃,从第7天起又增加了若干头牛,再过6天吃完所有的草。问增加了多少头牛?

 

例4  火车站检票口,在检票开始前已有一些人排队。检票开始后每分钟有10人前来排队检票。一个检票口每分钟能让25人检票进站,如果只有一个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队了,如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队了?

分析:一个检票口8分钟共检票(25×8)人,检票已后排队的人数是(10×8)人。由此。可先求出检票前已排队的人数(原有量)。

 

解:检票前已排队的人数:

25×8 — 10×8 = 120  (人)

两个检票口,每分钟减少排队的人数:

25×2 — 10 = 40  (人)

检票到无人排队的时间:

120÷40 = 3  (分钟)

答:如果有两个检票口,3分钟后就没的人排队。

 

例5  快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人,这三辆车分别 6小时、10小时、12小时追上骑车人。现在知道快车时速24千米,中车时速是20千米,问慢车时速是多少?

份析:画出示意图

   

骑车人 

快车

中车  

慢车  

 

分析:借用牛吃草的问题,骑车人开始所在的位置相当于原有量,在开始追赶他时,他继续前行的量是新增量。

 

解:求路差和骑车人的速度

(20×10 — 24×6)÷(10 — 6)= 14  (km)

上式:路程差 ÷ 时间差 = 骑车人的时速(这里用中车和快车路程差和时间差计出结果)

三辆车出发时与骑车人的距离

20×10 — 14×10 = 60 (km)

(用中车10小时的路程减去骑车人这一时间内的路程求得)

慢车12小时走的路程

14×12 + 60 = 228  (km)(慢车12小时的全程)

慢车的时速

228÷12 = 19  (km)

答:慢车时速是19千米。     

 

练习题:

4、一只船发现漏水时已进了些水,现在水匀速进入船内,如果10人舀水,3小时可舀完,5人舀水8小时可舀完,如果要求2小时舀完,要安排多少人舀水?

 

5、某游乐场在开门前有400人排队等待,开门后每分钟来的人是固定的。如果开放4个入口20分钟就没有人排队,现在开放6个入口,那么开门后多少分钟就没有人排队了?

 

6、一个水池安装有一根入水管不断地往池中注水,平均每分钟注水量相同,还安装有若干根排水量相同的出水管,如果打开3根出水管,45分可把池中的水排完。如果要15分钟排完池中的水,需要打开几根出水管?

 

7、一个蓄水池,每分钟流入4立方米水,如果打开5个排水龙头,2.5小时能把水池放空,如果打开8个排水龙头,1.5小时能把水池放空,如果打开13个排水龙头,需要多少时间就能把水池放空?

 

 

 

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