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中岳老松

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中华诗词学会、文化部中国诗酒文化协会、河南省诗词学会、平顶山市作家协会会员、平顶山“三苏诗社”秘书长。

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【学习笔记】五年级奥数讲座----第一讲 等差数列(二)  

2017-04-20 18:58:05|  分类: 小学奥数 |  标签: |举报 |字号 订阅

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五年级奥数讲座(成都华罗庚学科技学校版【整理者加注版】

 

              【笔录】  中岳老松

 

(  为孙儿记录 )

 

第一讲  等差数列(二)

 

  对等差数列a1a2a3…… an如果公差d相等,末项是an,n项的和是:

  Sn = a1+n1d   即:第n=首项+公差的(n1)倍。

        n =ana1÷d+1, 即:项数=(末项—首项)÷公差+1

      Sn = a1+an n ÷2,即:前n项和=(首项+末项)×项数÷2

  (这是因为首项+末项的和、第二项+倒数第二项的和、第三项+倒数第三项的和平、依次类推均相等)

这三个基本公式中所涉及到的首项、末项、公差及项数的4个关键数,在已知两或三个已知条件的前提下,可运用转换公式来求得第三或第呷项。就如同算术中的求和公式,已知和与加数来求被加数,已知被减数和差,去求减数一样。当然,也同已知乘积或商,乘数或除数,来求被乘数或被除数一样。

 

   准备题 1 

   有一列数 581114 … …,(1)求它的第100项,(2)求前100项的和

   解:(1)这个数列是等差数列,首项是5,公差是3

   a000= = 5+3 ×(1001= 302   答:第100项的数是302

          (2)          S100  =5+302 ×(100÷2= 15350

 

   准备题 2 

       有一串数 14710… … 298,求这串数的和

    解:这是个等差数列,首项是1,末项是298,公差是3,但缺少项数,所以要先求出项数。

       项数:(2981÷3 + 1 = 100(项)

和:S100  = 1+298×100÷2 = 14950

 

 

   例1 计算下列各题

11998+199719961995+1994+199319921991 + … … + 198+197196195

 

   分析:这是一列两个数相加,两个数相减并相交替的数列,经试运算可将其4个数分为一组,求其每组之差,

   原式 = 1998+199719961995+1994+199319921991 + …… +    (198+197196195= 4 × [1998194)÷ 4] = 4×1804÷4 = 1804

   如仔细观察,先将第一个数字放在一边,再依次将4个数字分为一组,则:

     199719961995+1994 = 0

       1993 1992 1991 + 1990 = 0

                … …

        201 200 199 + 198 = 0

  原式 = 1998 + 0 + 197 196 195 = 1804

 

21 + 2 + 3 4 5 6 + 7 + 8 + 9 101112 + … … + 182 +183

 

分析:如按正常顺序计算,会出现前三项的和不够减后三项的数字,但如果前3个数字先放在一边,从第4个数字到最末个数字倒来排列,被减数就会大于减数,这样:

原式 = 183 + 182 + 181 180 179 178+ 177 + 176 + 175 174 173 172 + … … + 9 + 8 + 7 6 5 4+ 3 + 2 + 1

倒过来分组计算后,每组的结果都是 9 是个等差数列,代入公式,则有:

     = 9 × [ 183 3 )÷ 6 ] + 3 + 2 + 1 = 9 × 30 + 6 = 246

 

   例2  写出数列123456、… …中,第n个偶数和第n个奇数

 

分析:在这个数列中,其特点是按自然数的自然属性依次由1 由小伙到大排列,是一种特殊的数列,如果按一般的数列来解,难度很大。题中分别要求求出第n个偶数和第n个奇数,那么我们就将这个数列分别按偶数和奇数排列出部分数字,分析其特殊性。

 

   解:数列中的偶数是:2468、… …     2n (对应项数的数值都是项数的2倍)

    项数:          1234、… …      n

所以第n项的偶数 = 2n   

                2×项数 = 所对应的n 项的偶数)

也就是说,第n个偶数是:2倍项数的乘积

 

数列中的奇数是:1357、… …    2n1 (因为所有偶数的排列与奇数的排列相减的差均是 1,如:2 1 = 14 3 = 16 5 = 18 7 = 1 … …

所以第n个奇数是2n 1                  n = 1234、… …)

也就是说,第n个奇数是:2倍的项数的乘积减 1

 

   例3         分别求出自然数列中前n个奇数之和,以及前n个偶数(不包袱0)的和

 

    解:(11 + 3 + 5 + … … + 2n 1

        = [ 1 + 2n 1] × n ÷ 2 = n2

 答:前n个奇数之和等于n个奇数的平方,即 n2

 

设每个小方格的边长都是1,有如下图:


A

 

B

 

C

 

 

B

 

C

B

B

B

 

C

 

 

 

 

C

C

C

C

C

C

1 = 1×1  (面积)A 是一个正方的面积,

1 + 3 = 4 =2×2     是个偶数的平方,A和平个空白正方开的面积

1 + 3 + 5 = 9 = 3×3  B9小个方格组成的大正方形

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4×4 是个偶数的平,是除了C外方格的面积

1 + 3 + 5 + 9 + 11 = 25 = 5×5  C 是由25个小方格组成的最大的正方形。

 

   前n个偶数的和:2 + 4 + 6 + 8 + … …   2n

                 = 2 + 2n)× n ÷ 2

                 = n2 + n

   也可用求奇数和的公式:

2 + 4 + 6 + 8 + … … + 2n = [ 1 + 3 + 5 +7 + … … + 2 n 1] + n

                           = n2 + n    与上式相同

   由此得出两个重要公式:

在等差自然数中,奇数的和是它个数的平方;偶数的和是它个数的平方再加个数。

 

   试一试,写出下列各式的和:

     1 + 3 + 5 + 7 + … … + 99的和 (这一组数中有50个奇数相加)= 502 = 2500

     2 + 4 + 6 + 8 + … … + 100的和 (同样也是50个偶数相加)= 502 + 50 = 2550

     21 + 23 + 25 + … … + 79  (不能直接引用公式,采取变通的方法,先从179补齐所有的自然数的个数,再减去119个数,经查算,前者有40个奇数,后者有10个奇数)= 402 102 = 1600 100 = 1500

 

需要注意的是:2n + 1 也可以表示奇数。( n = 01234、… … )这是因为数列中包含了0在内,它要从1开始算起。如果自然数中没有0,则应是2n 1
 

      例3     下图表中的30个方格中各有一个奇数,每个格忆中的数等于同一横行最左边一格和同一竖列最上面一格的数之和(如 A = 14 + 17 = 31),问:这30个数的总和等于多少?

10

11

13

15

17

19

12

 

 

 

 

 

14

 

 

 

A

 

16

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 


  解:在30个数的和中,11 13151719竖列中各加了5项次(如11 + 10 11 + 1211 +1411 + 16 11 + 18,共加了5次),12 141618横行中各加了6项次(如12 + 10 12 + 11 12 + 13 12 +15 12 +17 12 +19,共加了6次),10加了1次。先算奇数的和,再算偶数的和,;

  ∵  11+ 13+15+17+19 = 75   注:(11 + 19+13 + 17+ 15 = 75

   12+14+16+18 = 60       注:(12 + 18+14 + 16= 60

  ∴  总和 = 75×5 + 60×6 +10   注:其中56均是项次,10的项次是1,也就是本数。

           = 375+380+10 = 745

   重点:仔细观察,找出规格律再解。

 

  例4        已知一列数136101521、… …,问第59个数是多少?

找规律:1 = 1

        3 = 1 + 2

        6 = 1 + 2 + 3

       10 = 1 + 2 + 3 + 4 10 是第4个数)

         … …

   ∴  59个数是:( 1 + 3 + 6 + 10 +  … … + 59

                = 1 + 59 × 59 ÷ 2 = 1770

 

 

    例在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏,已知从第二层开始,每一层比下一层少安装盏,问:最上边一层安装了多少盏?

 

分析:此题的第一个难点是设题,即是先设第一层还是先设第八层为1,在等差数列中,应注意数字应由小到大来正顺序(特殊情况可例外,如按正顺序不够减的情况下,可倒过来排序)。本题上一层比下一层少装了6盏,所以属于正排序,应从最高层也就是第八层来排序。设第八层的灯数为a1,第七层为a2,依此类推到第一层为a8

     设:第八层为a1,第七层为a2,第六层为a3,… …

         888盏灯可分为4组,每组:888÷4 = 222

         那么,第一层比第八层多(一层a8不安装灯,为a8 = 0盏),

         6 ×( 8 1 = 42     6是每层由高往低少6盏,8 1是最下面的第一层不装灯,实际装灯的有7层,427层中由上往下,或是由下往上,每层少装或是多装灯的数量)

      ∴  最上面一层也就是a1,(22242)÷ 2 = 90 (盏)

 

      解:a1 + 6 × (8 1= a1 + 42

          即:a8 a1 = 42       

          且:( a1 + a8 )× 8 ÷ 2 = 888

          即:( a1 + a8  = 222   

          ② — ① 得:2 × a1 = 222 42

                                                    2 a1 = 180 

                            a1 = 90

 

  答:最上面一层有90盏。

 

    例6     若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒子中,其中只有一个盒子是空的,然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个棋子放在空盒子内,再把盒子重新排了一下,小明回来没有发现有人动过棋子。问:共有多少个盒子和多少个棋子?

    设图如下:

原有

1

2

3

4

5

6

 

现在

1

2

3

4

5

 

 

 

分析:题意中有50多个棋子,分装在一排同样的盒子内,其中只有一个盒子是空的。分装是本题的关键,所谓“分装”应当理解为不是“平均装”。另外,小光从每个盒子里各拿出一个棋子放在空盒里后,仍然有一个盒子是空的,而原来的空盒子因小光从每个盒子中各拿出一个棋子放在其中而是装得最多的盒子。那么,通过推算,辟如第二个盒子原来有一个棋子,拿出来一个就会成为空盒,第三个盒子有两个棋子,拿出一个就剩下一个,以此类推,装有棋子的盒子只能有10个,再加上一个空盒,盒子应当有11个。所以:

    经验算:0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … … + 10

           = 1 + 10 )× 10 ÷ 2

           = 55 (个)

    以上演算有11项,即有11个盒子。

 答:有11个盒子和55个棋子。

 

 

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